剑心侠义2.2视频:几道高一数学题

1(1):只要求出公差和公比就好。
公差是1/(n+1)，公比是2开n+1次跟号。别告诉我你往下还不会。
(2):通项都知道了，就算出来看看呗：
设n个数的时候公比=qn=2开n+1次跟号，公差=dn=1/(n+1)
An = qn * qn^2 * qn^3 * ... * qn^n
= qn的(1+2+..+n)次方=qn的(1+n)*n/2次方
（注意qn的n+1次方是2）所以An=2的n/2次方
Bn = (1+dn)+(1+2dn)+...+(1+n*dn)
= n+dn*(1+2+...+n)=n+dn*(1+n)*n/2
（注意dn*(n+1)=1）所以Bn=n+1*n/2=3n/2
考虑这两个函数A(x)=2的x/2次方，B(x)=3x/2，
A(x)在x比较小的时候在B(x)下方，当x比较大的时候就在B(x)上方了。
因此n>=7的时候结论是A(x)比B(x)大。证明就把上面这写写上就好。

2.(1)套定义，算一下：对任意的x1,x2，
f(x1)+f(x2)=ax1平方+x1+ax2平方+x2
f((x1+x2)/2)=a((x1+x2)/2)平方+(x1+x2)/2
下面是比较大小，用下面的式子减去上面的式子。
a((x1+x2)/2)平方-(x1平方+x2平方))-(x1+x2)/2
由均值不等式，知道前面一个括号是负的，而后面也是负的，而且a>0，因此f((x1+x2)/2)<f(x1)+f(x2)
因此由定义知道：a>0时f(x)是凸的。
(2)分若干情况：
若极值点不在[0,1]，则只要两个端点在[-1,1]就行，
若极值点在[0,1],则要极值和两个端点都在[-1,1]才行。
两个端点：f(0)=0;f(1)=a;因此a在[-1,1]
当a<0的时候极值点在[0,1]，a>0的时候不在。
因此a在(0,1]都可以，a在[-1,0)时还要考虑极值点，这里写太麻烦了你自己算把。

3.40
100+60=2*中间n项+前n项+后n项，
注意到第k项+第2n+k项=2*第n+k项，1<=k<=n
所以前n项+后n项=2*中间n项
所以160=4*中间n项。

在下答复第二个大题：
1.证明：设x1,x2∈R，则
f[(x1+x2)/2]=a*[(x1+x2)/2]^2+(x1+x2)/2=
a*(x1^2+x2^2+2x1*x2)/4+(x1+x2)/2,而
(x1^2+x2^2)+2x1*x2<=(x1^2+x2^2)+(x1^2+x2^2)=
2*(x1^2+x2^2) 所以当a大于0时，f[(x1+x2)/2]=a*[(x1+x2)/2]^2+(x1+x2)/2=a*(x1^2+x2^2+2x1*x2)/4+(x1+x2)/2<=
a*(x1^2+x2^2)/2+(x1+x2)/2,而
[f(x1)+f(x2)]/2=a*(x1^2+x2^2)/2+(x1+x2)/2，于是
f[(x1+x2)/2]<=[f(x1)+f(x2)]/2,所以二次函数f(x)=axx+x(a∈R,a不等于0) 当a大于0时为凸函数 。
2.二次函数f(x)=axx+x显然过原点,，它的对称轴为x=-1/2a.
当a>0时,与x轴另一交点在y轴的左侧，f(x)在[0,1]上为增函数，于是f(1)为最大值，所以有f(1)=a+1<=1 ,所以a<=0,这与a>0矛盾。
当a<0时，与x轴另一交点在y轴的右侧，f(x)在[0,-1/2a]上为增函数，所以
若1<=-1/2a,即a>=-1/2,那么x∈[0,1]时，f(1)为最大值，所以有f(1)=a+1<=1，所以a<=0.即满足题意的a的范围为[-1/2,0）.
若1>-1/2a,即a<-1/2,那么 x∈[0,1]时，f(-1/2a)为最大值, 所以有f(-1/2a)=a*(-1/2a)^2+(-/2a) =-1/4a<=1,得a<=-1/4,所以满足题意的a的范围为a<-1/2.
综上a的范围为[-无穷大,0).

160=4*中间n项