巴西龟白眼病图片:定义在R上的函数满足：f(x)=f(4 - x)且f(2 -x)+f(x - 2)=0,求f(2000)

来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/29 06:18:22
请各位数学高手帮帮忙

把t=(2-x)代入f(2-x)+f(x-2)=0
得到 f(t) + f(-t) = 0 f是奇函数
因此 f(0) = 0.

又
f(x+4)=f(4-(-x))=f(-x)=f(x)

所以
f(2000)=f(1996)=...=f(0) = 0

f(x)=f(4-x)且f(2 -x)+f(x-2)=0
f(0)=f(4)且f(0)+f(0)=0
f(0)=f(4)=0
f(4)+f(-4)=0
f(-4)=-f(4 )=0
f(-4)=f(8)=0
f(8)+f(-8)=0
f(-8)=-f(8 )=0
f(-8)=f(12)=0
f(4n)=0,f(2000)=f(4*250)=0

x=0时，f(x)=f(4-x) f(0)=f(4) f(x)是以4为周期的函数
x=2时，f(2 -x)+f(x - 2)=0 f(0)+f(0)=0 f(0)=0
f(2000)=f(0)=f(4)=0

f(8+x)=f(-4-x)=f(-x+2-6)=f(2-(x+6))=-f(x+6-2)=-f(x), f(16+x)=f(8+8+x)=-f(8+x)=f(x.).所以，f(x)是周期函数，周期为16，f(2000)=f（16×125）＝f（0），而当x＝2，有f（2－2）＋f（2－2）＝0，所以，f（0）＝0，因此，f（2000）＝0。

解:
∵f(2-x)+f(x-2)=0
∴f(x)=-f(-x)
∴f(2000)=f(4-2000)=f(-1996)=-f(1996)=-f(-1992)=.......=f(0)
又f(2-2)+f(2-2)=0
∴f(0)=0
∴f(2000)=f(0)=0

t=4

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