段家少爷和钟家二少腐:向量问题

向量的加减法运算,和数量一样,并且遵守交换律.比如,记向量a和b,把它们相加,就记为a+b

如果把向量写成一组正交基下表示的分量形式,比如a=(a1)i+(b1)j+(c1)k+(d1)w... 其中i,j,k,w...是一组正交的基底,a1,b1...是分量,而b=(a2)i+(b2)j+(c2)k+(d2)w...
则a+b=(a1+a2)i+(b1+b2)j+(c1+c2)k+(d1+d2)w...

其实,上式中,括号里面的加法和括号外面的含义有些不同,括号里面仍然表示数量加法,括号外面表示向量加法.

你提到的分配律,是关于乘法的,但是向量的乘法具有3种运算.有点乘(或叫内积,数量积,缩并),叉乘(或叫外积,向量积),和直积(张量积,扩张).(这是我见到的外号最多的玩意儿)

点乘对于左右都有分配律,并且有交换律,在比较初等的数学和物理里面就能遇到. 两向量点乘得到一个数量,比如,上面的a点乘b得到a1*a2+b1*b2+c1*c2+d1*d2...

叉乘满足分配律但不满足交换律.3维向量的叉乘,可以获得一个(赝)向量,它的乘法原则,写成分量形式是是一个行列式,第一行依次是i,j,k 第二行依次是a对应i,j,k的分量,第三行依次是b的分量.(baidu上打点符号真是不方便,建议知道的这个版子增加公式编辑功能)

两个向量的张量积可以得到一个二阶张量,可以表示为矩阵(a圆圈叉b),a在前,写成列向量,b在后,写成行向量(a,b位置反一下就是点乘了),按照矩阵乘法原则.更高阶的玩意儿不细说了.张量积不满足交换律,但可以有分配律.

上面提到的都是代数运算.3维向量或更低可以用几何表示.比如,i,j,k就是直角坐标系的x,y,z轴上的3个1, 空间里的一个点对应一个向量,它的坐标(a1,b1,c1)表示它在i,j,k上的分量. 向量加法,按照代数表示的定义,在几何里面就对应于;平行4边形法则. 向量的点乘可以表示为它们各自的长度乘以cosx ,x表示它们间夹角. 2叉乘也可以表示,用右手螺旋定则确定获得的向量的方向,用a,b的长度和sinx三者乘积确定第三个向量的大小.几何表示和代数定义是一致的.

除了 （A*B）*C=A*（B*C）
其他的都可以，只要注意向量是有方向的，运算是注意有俩个向量的角度：COSθ°

平行四边形法则
三角形法则
加法分配律，结合律
减法就是加一个方向相反的向量

什么律都遵循
另外，加减法是一回事

平行四边形法则