高考问答周雨 乒乓球:用二项式定理求证:(1+1/n)^n<3
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 22:38:37
要用二项式定理 还有我没学过e之类的
要用二项式定理,我没学过e之类的
要用二项式定理,我没学过e之类的
用定理展开这个式子
(1+1/n)^n=
1
+
n*(1*n)
+
n*(n-1)/(1*2*n^2)
+
....
+
n*(n-1)*(n-2)*...*2*1/(1*2*3*...*n*n^n)
我每一项都写一行，希望你看得明白。
然后，
第3项小于1/(1*2)，从而小于1/2
第4项小于1/(1*2*3)，从而小于1/4
第5项小于1/(1*2*3*4)，从而小于1/8
....
第n+1项小于1/(1*2*3*...*n)，从而小于1/[2^(n-1)]
于是所有项之和小于1+1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+...
小于3。
懒人的做法……
n>=1时
证0<1+(1/n)<3^(1/n)
(证这一步用求倒f(n)=[3^(1/n)-(1/n)-1]的最小值>0就行了)
然后n次方（不等式两边都为正）
不想动脑筋的大学生都是这么做的……
汗
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