高考问答佛山微信运营:微积分问题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 08:07:04
一段金属导体外面被一层绝缘橡胶包裹着 如果金属导体的半径和绝缘橡胶厚度的比值是X 信号通过金属导体的速度与X^2ln(1/x)成正比 求当信号传播速度为最大时 X的值
f = x^2ln(1/x) = -x^2lnx
df/dx
= -2xlnx - x^2/x
= -2xlnx - x
df/dx = 0
-2xlnx - x = 0
lnx = -1/2
x = 1/√e
v＝k*x^2*ln(1/x)【k>0,为比例系数】
一阶导数：dv/dx＝2*k*x*ln(1/x)-k*x
二阶导数：d2v/dx2=2*k*ln(1/x)-3*k
当二阶导数<0时，速度v有极大值，即2*k*log(1/x)-3*k<0
解得：x>e^(-1.5)=0.2231时，有极大值
极大值在dv/dx＝2*k*x*ln(1/x)-k*x＝0处
解得：x＝e^(-0.5)=0.6065
v的极大值为vmax＝k(e^(-0.5))^2*ln(1/e^(-0.5))= 0.1839k