中邮网院学员中心:如何证明正三角形外一点到最远顶点的距离不大于到其它两个顶点的距离之和？

这道题可能不是像“三角形两边和大于第三边”那样容易。

比如，在正三角形外存在这样的点P，使得P到最远顶点的距离等于P到其他两顶点距离之和。PA=PB+PC，而这样的PA、PB、PC是不可能组成一个三角形的。这样的点，举一个例子，正三角形ABC，过A向BC作高AD交BC于D，延长AD至P使得|AD|=3|DP|，此时，这个P点就是这样的点，使得PA=PB+PC。

另外，四楼的朋友，ABCP是平行四边形的结论仅是一种特殊情况，在大多数情况下，ABCP不是平行四边形，因而证明不能完全成立。

我对这道题的证明涉及初等解析几何的内容。

基本思想是以B、C为焦点做椭圆，然后运用椭圆的性质给出PA和（PB+PC）平方差的表达式，最后运用二次函数的性质来分析最值的可能性。

虽然证明了这个命题，但是过程甚是繁杂，这也是我之所以认为这道题不简单的原因。因为我一开始也试图使用几何的方法来使这道题可以被很直观地证明，比如做辅助线寻找合适的三角形之类的，但是没有成功。

解析的方法也是最后迫不得已才使用的，我这里说的椭圆法是我使用的第二个解析方法，我的第一个解析方法虽然没有用到椭圆这样的复杂概念，只有夹角作为变量，但是由于最后涉及一个比较复杂的包括三角函数的二元函数的求最值问题，再加上两个变元间的制约关系，使得问题变得复杂，因而没有继续求最值。

没注意“正”。。。不好意思

【一】解：设正三角形ABC，外一点为P到A点距离最远。
【二】连结BP、CP
由题意得：四边形ABCP为平行四边形（或菱形）。
所以：AB=PC
所以：ABP为一个三角形。
所以：AB＋BP>AP（两边之和大于第三边。）
因为：AB=PC
所以：PC+PB>AB（两边之和大于第三边。）
【三】综上所述：三角形外一点到最远顶点的距离不大于到其它两个顶点的距离之和

可以用对称法

这麽说吧，正三角形外任一点到三角形的三个顶点就是一个三角形，三角形的特性就是任一边都不会大於其它两边这和的，明白没

以为三角行两边之和大于第三边,所以三角形外一点到最远顶点的距离不大于到其它两个顶点的距离之和