高考问答mix滤镜大师mac版:求证e是无理数！
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/30 12:05:50
我只能证到（1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(1+n)
下面的兄弟
e为什么可以表示为1+1/1！+1/2！+....
下面的兄弟
e为什么可以表示为1+1/1！+1/2！+....
关于e是无理数的证明，可以用反证法。
如果e是有理数，则可以表示成为两个互质的整数的商，即:e=p/q，其中p,q都是大于1的正整数。于是
p/q=e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/q!+1/(q+1)!+1/(q+2)!+...
将上式整理一下，得到
q!(p/q-1-1/1!-1/2!-...-1/q!)=1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+1)(q+2)(q+3))+...
很显然，这个式子的左端是一个整数，而对右端的式子，有
0<1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+1)(q+2)(q+3))+...
<=1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+2)(q+3))+...
=1/(q+1)+1/(q+1)-1/(q+2)+1/(q+2)-1/(q+3)-...
=2/(q+1)<1
导出矛盾来了，所以e 是有无理数。
1873年，埃尔米特还证明了，e是超越数，即它不可能是任何整系数多项式方程的根。
补充一下,超越数的证明可以看克莱鲍尔的数学分析
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