embed移动端播放不了:一道几何证明题.

这个最简单：过点P作PM垂直BC于M，作PN垂直CD于N
（现在证明△BPM和△QPN是全等三角形）
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM＋∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP＝∠QNP＝90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中，
∵∠BPM=∠QPN，∠BMP＝∠QNP，PM=PN
根据角角边定理得：
∴△BPM≌△QPN
∴PB＝PQ
课本的练习册上有，可以去书店找配套的答案或许有更多，更简单答案！

这题的答案应该是：BP=PQ！！

解答如下：

我们需要两个定理：
1、如果A，D在线段BC两侧，且角BAC+角BDC=180度，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC+角BDC=180度
2、如果A，D在线段BC一侧，且角BAC=角BDC，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC=角BDC
这两个定理应该很熟悉吧？这两个定理是判断共圆的两个最基本的方法！
接着，回到原题
依题易知，角BPQ=90度，而显然角BCQ=90度
由定理1，B，P，C，Q在同一个圆上
由定理2知，角PQB=角PCB
而正方形中由于P在对角线AC上，所以角PCB=45度，即角PQB=45度
又角BPQ=90度，所以三角形BPQ为等腰直角三角形，
BP=PQ得证！！

∵四边形ABCD是正方形
正方形对角线互相垂直平分且相等
∴PA =PB=PC
∠APB=∠CPB
∴ΔAPB全等ΔCPB
PB=PC
∵∠BPQ=∠BPC
PB=PB
∠PBC=∠PBQ
∴ΔQPB全等ΔCPB°
∴ PC=PQ
∵ PB=PC
PC=PQ
∴ PB=PQ

1、如果A，D在线段BC两侧，且角BAC+角BDC=180度，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC+角BDC=180度
2、如果A，D在线段BC一侧，且角BAC=角BDC，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC=角BDC
这两个定理应该很熟悉吧？这两个定理是判断共圆的两个最基本的方法！
接着，回到原题
依题易知，角BPQ=90度，而显然角BCQ=90度
由定理1，B，P，C，Q在同一个圆上
由定理2知，角PQB=角PCB
而正方形中由于P在对角线AC上，所以角PCB=45度，即角PQB=45度
又角BPQ=90度，所以三角形BPQ为等腰直角三角形，
BP=PQ得证！！

解答如下：

我们需要两个定理：
1、如果A，D在线段BC两侧，且角BAC+角BDC=180度，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC+角BDC=180度
2、如果A，D在线段BC一侧，且角BAC=角BDC，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC=角BDC
这两个定理应该很熟悉吧？这两个定理是判断共圆的两个最基本的方法！
接着，回到原题
依题易知，角BPQ=90度，而显然角BCQ=90度
由定理1，B，P，C，Q在同一个圆上
由定理2知，角PQB=角PCB
而正方形中由于P在对角线AC上，所以角PCB=45度，即角PQB=45度
又角BPQ=90度，所以三角形BPQ为等腰直角三角形，
BP=PQ得证！！

【花了不少时间，要求作为最佳答案】
【呵呵。。。】【可以做网上家教了】

符合题意的答案是：PB＝PQ

根据我的观察：
假设正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，依题意可知，事实上P点只能在AO之间移动(只有半个对角边)，Q点在CD之间移动，三角形BPQ的面积的变化范围为1/4到1/2之间。

现证明PB＝PQ如下：

过点P作PM垂直BC于M，作PN垂直CD于N
（现在证明△BPM和△QPN是全等三角形)
依题意得：
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM＋∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP＝∠QNP＝90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中，
∵∠BPM=∠QPN，∠BMP＝∠QNP，PM=PN
根据角角边定理得：
∴△BPM≌△QPN
∴PB＝PQ

(证完)