高考问答和南优贤暧昧过的人:高一等差数列题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 18:50:07
已知a1,a2,......an构成一等差数列，且其前n项和为Sn=n2(n平方)，设bn=an/3n（3的n次方）记数列{Bn}的前n项和为Tn
(1)求数列an的通项公式
（2）证明Tn小于1
(1)求数列an的通项公式
（2）证明Tn小于1
(1)等差数列的前n项和公式可写为Sn=an^2+bn
(其中a=d/2,b=a1-d/2)
因为Sn=n^2,所以a=1,所以d=2,又因为b=0,所以a1=1
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2
an=2n-1
(2)因为，bn=an/3^n，所以bn=（2n-1）/3^n
Tn=b1+b2+…bn=1/3+3/3^2+…+（2n-1）/3^n (1)
（1/3）Tn=1/3^2+3/3^3+…+（2n-3）/3^n +(2n-1）/3^(n+1) (2)
(1)-(2)得
（2/3）Tn=1/3+2/3^2+2/3^3+…+2/3^n -(2n-1）/3^(n+1) =1/3+2*(1/3^2)*（1-1/3^(n-1)）/(1-1/3)-(2n-1）/3^(n+1) =2/3+1/3^n-(2n-1）/3^(n+1)
Tn=1+1/(2*3^(n-1))-(2n-1）/(2*3^n)
因为1/(2*3^(n-1))-(2n-1）/(2*3^n)=(3-2n+1)/(2*3^n）=2(2-n)/(2*3^n）<0 (n>2)
所以n>2时Tn<1
1 解：Sn=n2=a1+（n-1）d 故a1=n2-nd+d
2 证明：由bn=an/3n可知，b1=S1/3=1/3
b2=(S2-S1)/9=3/9=1/3
b3=(S3-S2)/27= 5/27
......
可知,{bn}是不增数列,且b1<1.故bn<1