高考问答调理糖尿病的仪器:整除问题,谢谢...
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/08 01:45:58
f(n)=(2n+7)*3^n+9 是否存在自然数m,使对任意 n属于N*,都是m整除f(n)?如果存在,求出最大值m的值.并证明你的结论.若不存在,,说明理由
存在m,且m=36.
证明:
首先,f(1)=36, 所以m最大只能是36.
下面证明对于一切的n属于正整数,都有m|f(n).
n=1的时候,结论成立.
n>=2的时候,
f(n)=(2n+7)*9*3^(n-2)+9
=9*[(2n+7)*3^(n-2)+1].
只要证明
4|[(2n+7)*3^(n-2)+1]就可以了.
事实上,
n是奇数的时候,(2n+7)除以4余1,这个时候,3^(n-2)除以4余3,所以(2n+7)*3^(n-2)除以4余3,结论成立.
n是偶数的时候,(2n+7)除以4余3,这个时候,3^(n-2)除以4余1,所以(2n+7)*3^(n-2)除以4余3,结论仍然成立.
所以结论:4|[(2n+7)*3^(n-2)+1]总成立,
所以:n>=2的时候,也有36|f(n).
所以最大的m是36.