北京舞蹈学院教授名单:关于几个比较BT的数学公式~~~~急~~

(1)An =10n+2.
Sn=10[n+(n-1)+(n-2)+......+1]+2n=5nn+7n
(2)同理Sn=5nn+8n.
(3)An=nn+n
Sn=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
注:打不出n的平方就用nn代替!

首先推第三个式子，
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)
=(1*2*3-0*1*2)/3+(2*3*4-1*2*3)/3+…+[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+2)]/3
=[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+…+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+2)]/3
=n(n+1)(n+2)/3
则
1^2+2^2+3^2+…+n^2
=1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+…+n[(n+1)-1]
=[1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)]-(1+2+3+…+n)
=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
=n(n+1)(2n+1)/6
第二个式子需要用特殊技巧
设Sn=1^3+2^3+3^3+…+n^3
由于
n^4-(n-1)^4=[n-(n-1)][n^3+n^2*(n-1)+n*(n-1)^2+(n-1)^3]=n^3+n^2*(n-1)+n*(n-1)^2+(n-1)^3=2n^3-n^2+(n-1)^2+2(n-1)^3=2n^3+2(n-1)^3-2n+1
所以
n^4-(n-1)^4=2n^3+2(n-1)^3-2n+1
(n-1)^4-(n-2)^4=2(n-1)^3+2(n-2)^3-2(n-1)+1
……
2^4-1^4=2*2^3+2*1^3-2*2+1
1^4-0^4=2*1^3+2*0^3-2*1+1
n个等式累加得
n^4=2Sn+2S(n-1)-n(n+1)+n=4Sn-2n^3-n^2
（注：S(n-1)中的(n-1)为下标）
所以
4Sn=n^4+2n^3+n^2=[n(n+1)]^2
所以
Sn=[n(n+1)]^2/4

老师好象教导过我们，这种幂的公式(1^k+2^k+...+n^k)可用 累差叠加 法证得.楼上的那位仁兄真是辛苦啦,我看的眼花缭乱的

厉害哦 !