火线传奇弟第一季的第:使用区间套定理证明dini定理.

你不说哪个Dini定理，我就暂时先给你下面这个dini定理的证明。如果你要的是Abel-Dini定理，请再说明。

若连续函数列{Fn(x)}在闭区间[a,b]上收敛于连续函数f(x)，且对任意x∈[a,b],{Fn(x)}为单调数列,则{Fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)。

用闭区间套定理只能反证。因为Dini定理是有限覆盖的正面应用，而有限覆盖是闭区间套的逆否，所以只能反证。使用二分区间法。

假设{Fn(x)}在[a,b]上不一致收敛于f(x)。将区间[a,b]二等分，则在其中一个小区间上，{Fn(x)}不一致收敛于f(x)。因此得到递缩区间套。挤出唯一点，设为t。任何含有t的足够小的闭区间，函数列{Fn(x)}都不会一致收敛于f(x)。然而我们下面将证明并非如此。

现在考察t点。由于在t点，函数列{Fn(t)}收敛到f(t)，故从足够大的项N以后，Fn(t)就不超过f(t)的正负c偏差，c是任给的正数。

[FN(t)-f(t)]之绝对值<c

现在N是跟随c给定的。考察FN(x)-f(x)这个函数。

我们知道FN(x)-f(x)在t点连续，因而对于t点为中心的某个邻域Q(如果t是端点，则Q是某个半邻域)，在这个邻域内，[FN(x)-f(x)]之绝对值仍<c。

然而，对于[a,b]上每一点x,因为{Fn(x)}收敛到f(x)，并且{Fn(x)}对每个x都是单调的，那么f(x)必然是Fn(x)的确界，是上确界还是下确界，要看在x点{Fn(x)}是递增还是递减。但不管Sup还是Inf，总之只要{Fn(x)}的某一项和f(x)的偏差不超过正负c，则后面的项和f(x)的偏差也不超过正负c。

于是，在邻域Q内，[FN(x)-f(x)]之绝对值<c将推出，所有n>N，[Fn(x)-f(x)]之绝对值<c。

这样，我们就得到了，在t点，有这样一个开区域Q，在这个区域里，任何的正数c，存在一个N，只要n>N，就有[Fn(x)-f(x)]之绝对值<c，换句话说，{Fn(x)}在Q内一致收敛到f(x)。而任何含有t的足够小的闭区间将会是Q的真子集，这样的闭区间{Fn(x)}又不一致收敛到f(x)。因此，我们看到了矛盾。

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