高考问答深圳东部通道最新消息:1998，“希望杯"竞赛题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/30 00:21:33
23个不同的正整数的和是4845,问:这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少?写出结论,说明理由.
4845＝3×5×17×19
1＋2＋3……＋23＝276
设最大的质因数是m，那么这23个数字的和必须大于等于276m，
观察可知有3×5×19>276，
所以最大的公约数是17
【解】设23个不同的正整数的最大公约数为d，则，
23个不同的正整数为：dA1、dA2、...、dA23, Ak(1≤k≤23)为互不相同正整数
4845=dA1+dA2+...+dA23=d(A1+A2+...+A23)
A1+A2+...+A23最小为1+2+...+23=(23+1)*23/2=276
4845=3*5*17*19,
4845的约数中，大于276的最小约数是3*5*19=285，
即：A1+A2+...+A23最小为285
∴最大公约数d可能达到的最大值=4845/285=17