高考问答图像分割 自然生长:高2证明不等式
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/27 22:36:27
求证：1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n^2)>1
(n是正实数且n>=2)
请写出具体的证明过程，谢谢
(n是正实数且n>=2)
请写出具体的证明过程，谢谢
最直接了当的方法是用数学归纳法
n=2是显然成立
假设n=k(k≥2)时成立，记S(k)=1/k+1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(k^2)>1
当n=k+1时，S(k+1)=1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(k^2)+1/(k^2+1)...+1/(k^2+2k+1)
S(k+1)-S(k)=1/(k^2+1)...+1/(k^2+2k+1)-1/k>(2k+1)/(k^2+2k+1)-1/k
=[k(2k+1)-(k^2+2k+1)]/[k(k^2+2k+1)]=(k^2-k-1)/[k(k^2+2k+1)]
因为k≥2，所以k^2-k-1>0
于是S(k+1)>S(k)>1
于是对于任意n≥2，都有1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n^2)>1
证毕