高考问答武汉交通违法举报:数学题请求赐教:
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/30 14:57:44
已知函数f(x)=x^2+ax+b,当p,q满足p+q=1时，试证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy) 对任意实数x,y都成立的充要条件是：0≤p≤1.
pf(x)+qf(y)-f(px+qy)
=p(x^2+ax+b)+q(y^2+ay+b)-(px+qy)^2-a(px+qy)-b
=px^2+a(px+qy)+b(p+q)+qy^2-(px+qy)^2-a(px+qy)-b
=px^2+qy^2-(px+qy)^2
=px^2+qy^2-p^2x^2-2pqxy-q^2y^2
=pqx^2+pqy^2-2pqxy
=pq(x-y)^2
充分性：
因为0=<p<=0
p=1-q
0=<1-q<=1
0=<q<=1
pq>=0
pq(x-y)^2>=0
故pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)
必要性
因为pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)
所以pq(x-y)^2>=0
pq>=0
p(1-p)>=0
0=<p<=1