高考问答荒岛求生合成电动船:一道数学题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/29 16:06:22
求证:当p,q都是奇数时,方程x2+2px+2q=0(p2-2q>0)的根都是无理数
详细解答,谢谢
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判别式
=(2p)^2-8q
=4(p^2-2q)
p,q都是奇数,令p=2m+1,q=2n+1
p^2-2q
=4m^2+4m+1-4n-2
=4m^2+4(m-n)-1
=4(m^2+m-n)-1
则p^2-2q是奇数
如果方程x2+2px+2q=0(p2-2q>0)的根是有理数,则p^2-2q是完全平方式
则p^-2q=k^2
由于p^2-2q是奇数,则可设k=2r+1
则p^2-2q=k^2=(2r+1)^2=4r^2+4r+1=4(r^2+r)+1
这与上面p^2-2q=4(m^2+m-n)-1的形式矛盾
则p^-2q不可能表示为k^2的形式
因此当p,q都是奇数时,方程x2+2px+2q=0(p2-2q>0)的根都是无理数
证毕