海沧哪有城堡探险:已知,求证

在△ABP中, 由《正弦定理》→(sin∠ABP/AP)= (sinα/BP), 在△ABQ中→(sin∠ABQ/AQ)= (sin∠BAQ /BQ),

两式相乘→(sin∠ABP·sin∠ABQ) / (AP·AQ)= (sinα·sin∠BAQ二) / (BP·BQ)⑸。

在△ACP中→(sin∠ACP/AP)= (sin∠CAP /CP⑴), 在△ACQ中→(sin∠ACQ/AQ)= (sinα/CQ⑵),

两式相乘→(sin∠ACP·sin∠ACQ) / (AP·AQ)= (sinα·sin∠CAP二) / (BP·BQ)⑹。

由⑸⑹→sin∠ABP·sin∠ABQ= sin∠ACP·sin∠ACQ→

cos∠PBQ⑷－cos(∠PBQ+2∠EBP⑶)= cos∠PCQ⑷－cos(∠PCQ+2∠ACP) →

cos(∠PCQ+2∠ACP) －cos(∠PCQ+2∠ECP)=2 sin∠ACE·sin(∠PCQ+2∠ECP+∠ACE)=0→

∠PCQ+2∠ECP⑶+∠ACE=180°→∠ABP⑶+∠PCQ+∠ECP+∠ACE=∠ABP +∠ACQ=180°⑺→

sin∠ABP= sin∠ACQ⑺⑺。

由结论→(AB/AP)·(AC/AQ)+ (BP/AP)·(CQ/AQ)=1,在△ABP中→(AB/AP)= (sin∠APB/sin∠ABP),

在△ACQ中→(AC/AQ)= (sin∠AQC/sin∠ACQ⑺) →

(AB·AC) / (AP·AQ)=( sin∠APB·sin∠AQC) / ( sin∠ABP·sin∠ABP)

在△ABP中→(BP/AP)= (sinα/sin∠ABP),在△ACQ中→(CQ/AQ)= (sinα/sin∠ACQ⑺) →

(BP·CQ) / (AP·AQ)=( sinα·sinα) / ( sin∠ABP·sin∠ABP), 所以结论变为

( sin∠APB·sin∠AQC) / ( sin∠ABP·sin∠ABP) + ( sinα·sinα) / ( sin∠ABP·sin∠ABP)=1→

sin∠APB·sin∠AQC= sin∠ABP·sin∠ABP－sinα·sinα, →

左边= sin(180°－∠ABP－α) ·sin(180°－∠ACQ－α) =sin(∠ABP+α) ·sin(180°－180°+∠ABP－α)

= sin(∠ABP+α) ·sin(∠ABP－α)。

右边=( sin∠ABP+sinα) ( sin∠ABP－sinα)=2 sin[(∠ABP+α)/2]·cos[(∠ABP－α)/2]×2cos[(∠ABP+α)/2] ·sin[(∠ABP－α)/2]= sin(∠ABP+α) ·sin(∠ABP－α)= 左边。所以结论成立。