高考问答寂静城bgm:经典试题2：复数
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 19:23:08
设非零复数x,y满足x2+xy+y2=0(其中2均表示平方），则代数式
[x/(x+y)]1990+[y/(x+y)]1990（其中1990均表示次方）的值是_____
[x/(x+y)]1990+[y/(x+y)]1990（其中1990均表示次方）的值是_____
设非零复数x,y满足x^2+xy+y^2=0,则代数式
[x/(x+y)]^1990+[y/(x+y)]^1990的值是-1
【解】
x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=0,
即xy/(x+y)^2 = 1,
[x/(x+y)]^1990+[y/(x+y)]^1990
=(x^1990+y^1990)/(x+y)^1990
=[(x+y)^1990-2(xy)^995]/(x+y)^1990
=1-2[xy/(x+y)^2]^995
=1-2
= -1
答案为-1
解 令y=ωx,ω≠1,代入已知条件得1+ω+ω^2=0 (1-ω)(1+ω+ω^2)=0 ω^3=1,故
原式= 1/(1+ω)^1990 + ω^1990/(1+ω)^1990 =1+ω^1990/(1-ω)^1990=ω+1/ω=-1
（∵1990=3×663+1）