高考问答晚上睡觉全身发麻?:高中不等式
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 07:25:54
是否存在常数c,使得不等式x/(2x+y)+y/(2y+x)=<c=<x/(2y+x)+y/(2x+y)对于任意的正数x,y都成立?
p.s."=<"表示小于等于
p.s."=<"表示小于等于
设s=2x+y,t=2y+x
所以x=s-1/3*(s+t)=2/3*s-1/3*t,y=t-1/3*(s+t)=2/3*t-1/3*s
所以x/(2x+y)+y/(2y+x)
=2/3-1/3*t/s+2/3-1/3*s/t
=4/3-1/3*(t/s+s/t)
=<4/3-1/3*(2*t/s*s/t)
=2/3
右端证明同理
看这里c大于左边的最大值，小于右侧的最小值！这样就恒成立！
但是左侧右侧都是2/3
左侧
设s=2x+y,t=2y+x
所以x=s-1/3*(s+t)=2/3*s-1/3*t,y=t-1/3*(s+t)=2/3*t-1/3*s
所以x/(2x+y)+y/(2y+x)
=2/3-1/3*t/s+2/3-1/3*s/t
=4/3-1/3*(t/s+s/t)
=<4/3-1/3*(2*t/s*s/t)
=2/3
右侧一样！但是最后是大于等于，也就是有一个最小值！
小于最小的，大于最大的，所以存在且为2/3