钢炼fa剧情:初三数学一题多解

例3 求1+3+5+7+…+89=?
运用高斯算法，能够很容易地得出该题的结论，但这仅仅是就一般的计算而言。对问题的进一步研究，又使我们得到以下两种运算方式：

第一种
1=1×1
1+3=2×2
1+3+5=3×3
………………
1+3+5+…+89=45×45

第二种
由于 1=1×1×1
3+5=2×2×2
7+9+11=3×3×3
………………
73+75+…+89=9×9×9

所以，1+3+5+…+89=1×1×1+2×2×2+3×3×3+…+9×9×9=13+23+33+…+93。

当然，我们可以将上述运算作一般性的推广，使学生的解题思路更加开阔。然而，其真正的用意却在于：

第一种运算中，等式右边的1×1、2×2、3×3、……、45×45，是来自对平面图形--正方形的直接观察(图三)，1×1、2×2、3×3、……、45×45分别为边长是1、2、3、……、45的正方形的面积，因此，求1+3+5+7+…+89的和，等同于计算边长为45的正方形的面积。

第二种运算中，等式右边的1×1×1、2×2×2、3×3×3、……、9×9×9，则是来自对空间图形--正方体的直接观察(图四)，1×1×1、2×2×2、3×3×3、……9×9×9分别为棱长是1、2、3、……、9的正方体的体积，求1+3+5+7+…+89的和，等同于计算棱长分别为1、2、3、……、9的正方体的体积的。

如果将例3改换一种叙述方式：平面上共有90个点同在一条直线上，它们可以组成多少条不同的线段?则使我们完成了一次由点到线，由线到面，再由面到体的完美思考过程。

因此，本例的题多用不应简单地看成是解决数学问题的策略或方法，其重要意义是向我们揭示了如下的数学思想